Original: http://www.math.purdue.edu/~eremenko/train.html

Låt oss borra en rak tunnel från West Lafayette, IN till Paris, Frankrike:

train1

 

Som ni ser på bilden, går tunneln ner från West Lafayette till mitten, och sedan upp till Paris. Naturligtvis “ner” betyder närmare centrum av jordens, och “upp” har en liknande innebörd, eftersom tyngdkraften är riktad rakt mot centrum.

Låt oss nu lägga en järnväg* i tunnel. Så snart bromsarna på en järnvägsvagn i West Lafayette släpps, kommer bilen att rulla ner under tyngdkraften. Det kommer att accelerera, sedan nå sin maximala hastighet i mitten (= lägsta punkt) av tunneln, och sedan avta, gå upp av tröghet. Om vi försummar energiförlust för friktion, kommer Energy Conservation Law innebär att bilen kommer att nå Paris precis i samma ögonblick när dess hastighet blir 0. I detta ögonblick bromsar bör tillämpas, för att ge passagerarna tid att lämna bilen, och att ta nya passagerare, går i motsatt riktning.

För hela resor vi inte har tillbringat en enda droppe bränsle. Alla åtgärder bör vidtas naturligtvis att minska friktionen så mycket som möjligt. Jag rekommenderar, till exempel för att pumpa luft från tunneln. För att kompensera för den kvarvarande friktion mellan rälsen och hjulen, kan du använda en mycket liten motor.

Så bränsleeffektivitet bör vara mycket högre än den hos flygbolag, eller även det av fartygen. Så den avgörande frågan (avgörande för konkurrens med flygbolagen) är hur länge kommer denna resa att ta. Detta är den fråga jag föreslår dig att undersöka. Även vänligen beräkna restiden från West Lafayette till Goshen, IN, av en separat tunnel, naturligtvis. (Vi kan försöka konkurrera med Greyhound också, inte bara med flygbolagen). I din beräkning utgår från att tätheten av jord är konstant** allt inne. En del relevant information om tyngdkraften är i nästa avsnitt.

*Du kanske undrar, varför inte en motorväg. Eftersom en järnväg har mycket mindre friktion, så det är mycket mer energieffektiva än en motorväg.

**Detta är osannolikt. Men detta antagande förenklar problemet, och förmodligen är bra nog för en grov approximation.

Information om gravitation

Du kan hitta följande två satser av Newton användbar.

TEOREM 1. Gravitationskraften utanför en homogen sfär, är densamma som om alla dess massa var i centrum.

TEOREM 2. Den gravitationskraften inuti en homogen sfär är noll. (Här är Newtons eget bevis på Teorem 2).

Med hjälp av dessa två satser en kan beräkna tyngdkraften vid varje given punkt i vår tunneln. Se på bilden. Endast den del av jorden som ligger under bilen är relevanta. Och denna del lockar bilen till centrum av jorden med den kraft som är proportionell mot volymen av denna del.

train2

Naturligtvis kan du gå till ett bibliotek (eller www) för att hitta sådana saker som massa eller tätheten av jord, gravitationskonstanten, avståndet mellan West Lafayette och Paris miles eller grader, men jag råda dig att lösa detta problem i allmänhet först, utan att ange några parametrar, och sedan se vad fysiska konstanter du verkligen behöver. Detta har två fördelar: a) det kommer att spara tid, och b) det kommer att vara tillämpliga på andra vägar, liksom till andra planeter. Förresten, kan pumpa luften utanför tunneln vara den dyraste delen av hela projektet. Så det kan vara lämpligare för månen, vem vet.

Om efter dina beräkningar kommer du att dra slutsatsen att vår Gravitation Train inte är tillräckligt snabb, titta på en förbättrad version, Brachistochrone Gravity Train, som är den snabbast möjliga i sitt slag. Det är mycket mer matematiskt sofistikerade än oss, och en tunnel för att det kräver mer grävande.

Lösning av problemet och närmare kommentarer